Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{x^{4} - 5} d x$ , $u = x^{4} - 5$

Etapa 1

Deixe $u = x^{4} - 5$ . Em seguida, $d u = 4 x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{4} - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{4} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 2

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 4

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 5$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} - 5 |) + C$