Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

A integral de $\tan (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\ln (| \sec (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie $\ln (| \sec (u) |)$ em $\frac{π}{4}$ e em $\frac{π}{6}$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (\frac{π}{6}) |)$

Etapa 3.2.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{6})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} |)$

Etapa 3.2.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ é aproximadamente $1.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.2.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.2.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |})$

Etapa 3.3.2.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |})$

Etapa 3.3.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |})$

Etapa 3.3.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |})$

Etapa 3.3.2.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

Etapa 3.3.2.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

Etapa 3.3.2.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Etapa 3.3.2.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |})$

Etapa 3.3.2.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} |})$

Etapa 3.3.2.2.6.5

Avalie o expoente.

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |})$

Etapa 3.3.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ é aproximadamente $1.15470053$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Etapa 3.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\sqrt{2} \frac{3}{2 \sqrt{3}})$

Etapa 3.3.4

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \sqrt{3}})$

Etapa 3.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}})$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 4.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 4.2.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Etapa 4.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Etapa 4.2.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Etapa 4.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Etapa 4.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}})$

Etapa 4.2.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 4.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 4.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}})$

Etapa 4.2.7.5

Avalie o expoente.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3})$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\ln (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2})$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Forma decimal:

$0.20273255 \dots$