Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $\frac{1}{2}$ e em $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por ${(\frac{1}{2})}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $\frac{1}{2}$ à potência de $1$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 5.2

Some $1$ e $2$ .

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Forma decimal:

$0.125$