Cálculo Exemplos

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Etapa 1.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Etapa 1.5

Subtraia $3$ de $4$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Some $2$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.7

Reordene $u^{\frac{3}{2}}$ e $3 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.3.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.5

Some $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Combine $3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.6.3

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 8.6.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.6.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.6.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.7.2

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 8.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 8.8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.8.3.1

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 8.8.3.2

Reescreva a expressão.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

Etapa 8.8.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

Etapa 8.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

Etapa 8.9.2

Multiplique $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

Etapa 8.10

Some $\frac{2}{5}$ e $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

Etapa 8.11

Simplifique.

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Etapa 8.11.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

Etapa 8.11.2

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

Etapa 8.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

Etapa 8.11.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.11.4.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

Etapa 8.11.4.2

Some $10$ e $2$ .

$\frac{12}{5}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{12}{5}$

Forma decimal:

$2.4$

Forma de número misto:

$2 \frac{2}{5}$