Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3} - 6 x - 4}{x + 2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(u - 2)}^{3} - 6 (u - 2) - 4}{u} d u$

Etapa 2

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} + \frac{- 6 (u - 2)}{u} + \frac{- 4}{u} d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

Etapa 4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 5

Use o teorema binomial.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.2

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.3

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.4

Mova $u^{2}$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.5

Mova $u$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.7

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} - 6 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.8

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.9

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u + 4 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 6.10

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 7

Divida $u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8$ por $u$ .

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Etapa 7.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u^{3}$

$6 u^{2}$

$12 u$

$8$

Etapa 7.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$

Etapa 7.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			+	$u^{3}$	+	$0$

Etapa 7.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u^{3} + 0$ .

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$

Etapa 7.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$

Etapa 7.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

Etapa 7.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 u^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

Etapa 7.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					-	$6 u^{2}$	+	$0$

Etapa 7.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 u^{2} + 0$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$

Etapa 7.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$

Etapa 7.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

Etapa 7.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

Etapa 7.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							+	$12 u$	+	$0$

Etapa 7.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 u + 0$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$

Etapa 7.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$
									-	$8$

Etapa 7.16

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int u^{2} - 6 u + 12 - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{2} d u + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 10

Como $- 6$ é constante com relação a $u$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 \int u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 13

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - \int \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 15

Como $8$ é constante com relação a $u$ , mova $8$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - (8 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 16

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 17

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 18

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - \int \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 19

Como $6$ é constante com relação a $u$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - (6 \int \frac{u - 2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 20

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int \frac{u - 2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 21

Divida $u - 2$ por $u$ .

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Etapa 21.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

Etapa 21.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$2$

Etapa 21.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			+	$u$	+	$0$

Etapa 21.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$

Etapa 21.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$
					-	$2$

Etapa 21.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int 1 - \frac{2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 22

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (\int d u + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 23

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 24

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 25

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - (2 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 26

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 27

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{4}{u} d u$

Etapa 28

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{4}{u} d u$

Etapa 29

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - (4 \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 30

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 31

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 32

Simplifique.

$\frac{u^{3}}{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Etapa 33

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Etapa 34

Simplifique.

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Etapa 34.1

Subtraia $6 u$ de $12 u$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u - 8 \ln (| u |) + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Etapa 34.2

Some $- 8 \ln (| u |)$ e $12 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 4 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Etapa 34.3

Subtraia $4 \ln (| u |)$ de $4 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 0 + C$

Etapa 34.4

Some $\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u$ e $0$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + C$

Etapa 35

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(x + 2)}^{3} - 3 {(x + 2)}^{2} + 6 (x + 2) + C$