Cálculo Exemplos

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

Etapa 1

Deixe $u = 2 t^{3} + 8$ . Depois, $d u = 6 t^{2} d t$ , então, $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 2 t^{3} + 8$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{3} + 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{3}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$6 t^{2} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $6 t^{2}$ e $0$ .

$6 t^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $3$ .

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Combine $\frac{3}{6}$ e $u^{- 1}$ .

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

Etapa 2.3

Mova $u^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{3}{6 u} d u$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $3$ de $6 u$ .

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$