Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} - 3$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Etapa 1.3.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$u_{upper} = 6$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Etapa 6

Avalie $- u^{- 1}$ em $6$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Etapa 8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Etapa 9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Etapa 9.3

Some $- 1$ e $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{5}{12}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{12}$

Forma decimal:

$0.41\overline{6}$