Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} {(3 t - 1)}^{50} d t$

Etapa 1

Deixe $u = 3 t - 1$ . Depois, $d u = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 t - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 3 t - 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 3 t - 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{2} u^{50} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $u^{50}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{50}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} u^{50} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{50}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{51} u^{51}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{51} u^{51}]_{- 1}^{2}$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{51} u^{51}$ em $2$ e em $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{51} \cdot 2^{51}) - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Etapa 5.2

Eleve $2$ à potência de $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{51} \cdot 2251799813685250 - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{51}$ e $2251799813685250$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Eleve $- 1$ à potência de $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} \cdot - 1)$

Etapa 5.4.2

Simplifique.

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Etapa 5.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + 1 (\frac{1}{51}))$

Etapa 5.4.2.2

Multiplique $\frac{1}{51}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + \frac{1}{51})$

Etapa 5.4.3

Simplifique.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685250 + 1}{51}$

Etapa 5.4.3.2

Some $2251799813685250$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685251}{51}$

Etapa 5.4.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2251799813685251}{51}$ .

$\frac{2251799813685251}{3 \cdot 51}$

Etapa 5.4.4.2

Multiplique $3$ por $51$ .

$\frac{2251799813685251}{153}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2251799813685251}{153}$

Forma decimal:

$14717645841080.1$