Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ como $u - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5

Expanda $(u - 1) u^{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5.6

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{2}{3}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{2}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - \int u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C))$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Combine $\frac{3}{5}$ e ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Etapa 12.1.2

Combine ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2}) + C$

Etapa 12.1.3

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Etapa 12.2

Para escrever $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Etapa 12.3

Para escrever $- \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Etapa 12.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $10$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.4.1

Multiplique $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Etapa 12.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Etapa 12.4.3

Multiplique $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 5}) + C$

Etapa 12.4.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10}) + C$

Etapa 12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Etapa 12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.6.1

Fatore $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ de $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5$ .

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Etapa 12.6.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 12.6.1.1.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Etapa 12.6.1.1.2

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Etapa 12.6.1.2

Fatore $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ de $3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Etapa 12.6.1.3

Fatore $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ de $- 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)}{10} + C$

Etapa 12.6.1.4

Fatore $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ de $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1 \cdot 5)}{10} + C$

Etapa 12.6.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 5)}{10} + C$

Etapa 12.6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.6.3.1

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{1} - 5)}{10} + C$

Etapa 12.6.3.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 (x^{2} + 1) - 5)}{10} + C$

Etapa 12.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5)}{10} + C$

Etapa 12.6.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 - 5)}{10} + C$

Etapa 12.6.4

Subtraia $5$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{10} + C$

Etapa 12.7

Combine.

$\frac{1 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3))}{2 \cdot 10} + C$

Etapa 12.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{2 \cdot 10} + C$

Etapa 12.9

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{20} + C$