Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Deixe $x = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Fatore $3$ de $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 3.2.4.1

Fatore $3$ de $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Fatore $3$ de $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.5

Combine $3$ e $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 3.2.6

Combine $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.7

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.8

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.10

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.11

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.11.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.11.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3.2.12

Converta de $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ em $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (t)$ como $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Etapa 7

Como a derivada de $- \cot (t)$ é $\csc^{2} (t)$ , a integral de $\csc^{2} (t)$ é $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Etapa 8

Simplifique.

$- t - \cot (t) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$