Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x - 4$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x - 4$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = u_{1} + 4$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = u_{1} + 4$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} + 4$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Etapa 3.1.4

Como $4$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $4$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Deixe $u_{3} = u_{2} - 4$ . Depois, $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{3} = u_{2} - 4$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{2} - 4$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Etapa 4.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- 4$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} + 4)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva ${(u_{3} + 4)}^{2}$ como $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\int (u_{3} + 4) (u_{3} + 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u_{3} (u_{3} + 4) + 4 (u_{3} + 4)) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 (u_{3} + 4)) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + (4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + (4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.8

Reordene $u_{3}$ e $4$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.9

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.10

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.12

Some $1$ e $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {u_{3}}^{2 - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.14

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.15

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.17.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.17.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.18

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}) + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.20

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.22

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.23

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}) + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.24

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.25

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.27

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.28

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.29

Some $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ e $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.30

Reordene $8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ e $16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 5.31

Mova ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 7

Como $16$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $16$ para fora da integral.

$16 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 9

Como $8$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $8$ para fora da integral.

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

$32 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12.3

Reordene os termos.

$32 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $u_{2} - 4$ .

$32 {(u_{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(u_{2} - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} + 4$ .

$32 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 13.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 4$ .

$32 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Some $- 4$ e $4$ .

$32 {(x + 0 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14.2

Some $x$ e $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14.3

Some $- 4$ e $4$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x + 0 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14.4

Some $x$ e $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14.5

Some $- 4$ e $4$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x + 0 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 14.6

Some $x$ e $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$