Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Etapa 1.3

Some $2$ e $2$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 7 + 2$

Etapa 1.5

Some $7$ e $2$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Some $2$ e $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ em $9$ e em $4$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Etapa 8.2

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $9$ e em $4$ .

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.3.4

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $243$ .

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.4.2

Multiplique $2$ por $243$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.5.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Multiplique $32$ por $- 1$ .

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.6.2

Combine $- 32$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.6.3

Multiplique $- 32$ por $2$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.7.2

Subtraia $64$ de $486$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.8.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.8.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.9.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.9.3

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.3.1

Fatore $3$ de $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.9.3.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 8.10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.10.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 8.10.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Etapa 8.10.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Etapa 8.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

Etapa 8.11.2

Combine $- 8$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Etapa 8.11.3

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

Etapa 8.11.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

Etapa 8.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.12.1

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Etapa 8.12.2

Combine $18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Etapa 8.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Etapa 8.12.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.12.4.1

Multiplique $18$ por $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

Etapa 8.12.4.2

Subtraia $16$ de $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

Etapa 8.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.13.1

Combine $- 2$ e $\frac{38}{3}$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

Etapa 8.13.2

Multiplique $- 2$ por $38$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

Etapa 8.13.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

Etapa 8.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.14.1

Para escrever $\frac{422}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

Etapa 8.14.2

Para escrever $- \frac{76}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 8.14.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.14.3.1

Multiplique $\frac{422}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 8.14.3.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 8.14.3.3

Multiplique $\frac{76}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Etapa 8.14.3.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

Etapa 8.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

Etapa 8.14.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.14.5.1

Multiplique $422$ por $3$ .

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

Etapa 8.14.5.2

Multiplique $- 76$ por $5$ .

$\frac{1266 - 380}{15}$

Etapa 8.14.5.3

Subtraia $380$ de $1266$ .

$\frac{886}{15}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{886}{15}$

Forma decimal:

$59.0\overline{6}$

Forma de número misto:

$59 \frac{1}{15}$