Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \cos (x^{4} + 2) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{4} + 2$ . Depois, $d u = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{4} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{4} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{4} \sin (u) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 2$ .

$\frac{1}{4} \sin (x^{4} + 2) + C$