Cálculo Exemplos

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

Etapa 1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 1.3

Reescreva o polinômio.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

Etapa 1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $16$ é constante com relação a $u$ , mova $16$ para fora da integral.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$16 \int u^{- 2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$16 (- u^{- 1} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $16 (- u^{- 1} + C)$ como $16 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$- 16 \frac{1}{u} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $- 16$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 16}{u} + C$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{u} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- \frac{16}{x + 1} + C$