Cálculo Exemplos

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Etapa 1

Deixe $u = 4 + r^{2}$ . Depois, $d u = 2 r d r$ , então, $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 + r^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + r^{2}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Etapa 1.1.3

Como $4$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $4$ em relação a $r$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $2 r$ .

$2 r$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $r$ em $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $r$ em $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 4 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{5}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{5}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{5}{2}$ para fora da integral.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Etapa 6

Avalie $- u^{- 1}$ em $5$ e em $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Etapa 7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Etapa 8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Etapa 9

Some $- \frac{1}{5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Etapa 10

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $0$ .

$0$