Cálculo Exemplos

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Etapa 1.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Use as regras logarítmicas para mover $2$ para fora do expoente.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Etapa 1.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $2$ e em $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Etapa 5.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Etapa 5.3

Divida $2$ por $1$ .

$\ln (2)$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (2)$

Forma decimal:

$0.69314718 \dots$