Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{2 - x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - (- u + 2) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int (- u + 2) \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Expanda $(- u + 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.2

Fatore o negativo.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.7

Some $2$ e $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.8

Reordene $- u^{\frac{3}{2}}$ e $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int 2 u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Etapa 10

Simplifique.

$- (\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$- (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x$ .

$- (\frac{4}{3} {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Combine $\frac{4}{3}$ e ${(2 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 13.1.2

Combine ${(2 - x)}^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Etapa 13.1.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 13.2

Para escrever $\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 13.3

Para escrever $- \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 13.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 13.4.1

Multiplique $\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 13.4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 13.4.3

Multiplique $\frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Etapa 13.4.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$- (\frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Etapa 13.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Etapa 13.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.6.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$- \frac{20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Etapa 13.6.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- \frac{20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- \frac{1}{15} (20 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(2 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$