Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{2}$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{4} u^{4}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.3.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Etapa 5.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4})$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Etapa 5.5.2

Combine $4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Etapa 5.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Etapa 5.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4}$

Etapa 5.5.4.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{15}{8}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{15}{8}$

Forma decimal:

$1.875$

Forma de número misto:

$1 \frac{7}{8}$