Cálculo Exemplos

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

Etapa 1

Deixe $u = z^{2}$ . Depois, $d u = 2 z d z$ , então, $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = z^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d z}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 z$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u}}^{6}$ como $u^{3}$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sqrt{u}}^{8}$ como $u^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

Etapa 2.2.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

Etapa 3

Expanda $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

Etapa 3.2

Reordene $u^{3}$ e $5$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

Etapa 3.3

Reordene $u^{3}$ e $- 2$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

Etapa 3.5

Some $3$ e $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Etapa 5

Como $5$ é constante com relação a $u$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

Etapa 7

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ como $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

Etapa 9.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Etapa 9.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Etapa 9.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

Etapa 9.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$