Cálculo Exemplos

$\int \ln (\sqrt{x}) d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \ln (x^{\frac{1}{2}}) d x$

Etapa 3

Reescreva $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\int \frac{1}{2} \ln (x) d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - \int d x)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - (x + C))$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\ln (x) x - x) + C$