Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \sin (θ)$ . Depois, $d u = \cos (θ) d θ$ , então, $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \sin (θ)$ . Encontre $\frac{d u}{d θ}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $1$ em relação a $θ$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $θ$ em $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $θ$ em $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Etapa 4

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $2$ e em $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.4

Some $2$ e $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6

Um elevado a qualquer potência é um.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Etapa 7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Forma decimal:

$0.82842712 \dots$