Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 3}{{(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x - 4$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.2

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 9}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.4.2

Some $4$ e $9$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.6

Combine.

$\int \frac{3 (\frac{u}{3} + \frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.8.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.9.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.9.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.10

Multiplique $\frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}} \cdot 3} d u$

Etapa 2.11

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int \frac{u + 13}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{u + 13}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Expanda $(u + 13) u^{- \frac{3}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{9} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{9} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{9} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.6

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.7

Reordene $u^{\frac{- 1}{2}}$ e $13 u^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{9} (\int 13 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 8

Como $13$ é constante com relação a $u$ , mova $13$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} (13 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 4$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Para escrever $2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.3.1

Multiplique ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.3.1.1

Mova ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 ({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{1}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.2

Simplifique $2 {(3 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x - 4)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x - 8}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.6

Subtraia $8$ de $- 26$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{6 x - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.7

Fatore $2$ de $6 x - 34$ .

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Etapa 13.3.7.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.7.2

Fatore $2$ de $- 34$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) + 2 (- 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.7.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 17)$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x - 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.4

Combine.

$\frac{1 (2 (3 x - 17))}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 17)}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$