Cálculo Exemplos

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $7$ e $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

Etapa 5

Como $\frac{7}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{7}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

Etapa 7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

Etapa 8.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Etapa 10.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Etapa 10.1.3

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 10.1.3.1

Fatore $8$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Etapa 10.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Etapa 10.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Etapa 10.3.2

Fatore $2$ de $14 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Etapa 10.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Etapa 10.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Etapa 10.4

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Etapa 10.5

Combine $\frac{7}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Etapa 10.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$