Cálculo Exemplos

$\int \tan^{4} (x) d x$

Etapa 1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

Etapa 1.2

Reescreva ${\tan (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

Etapa 3

Simplifique.

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Etapa 8.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 9

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 10

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 10.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

Etapa 11

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 14

Simplifique.

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Etapa 16

Some $- 2 \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$