Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{3} - 2}{(x^{4} - 4 x)} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 2}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1)}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 1^{3})}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore $x$ de $x^{4} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.5.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot x^{3} + x \cdot - 4}$

Etapa 1.1.1.5.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} - 4)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 3ª ordem, os termos de $3$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{3} - 4)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x^{3} - 4))}{x (x^{3} - 4)} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{3} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} - 4)}{x^{3} - 4} = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.4.2.2

Divida $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ por $1$ .

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.5

Expanda $(2 x - 2) (x^{2} + x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 x + 0 - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.2.2

Some $2 x^{3} + 2 x$ e $0$ .

$2 x^{3} + 2 x - 2 x - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.2.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$2 x^{3} + 0 - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.6.2.4

Some $2 x^{3}$ e $0$ .

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{3} - 2 = \frac{A (x (x^{3} - 4))}{x} + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $A (x^{3} - 4)$ por $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A (x^{3} - 4) + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + A \cdot - 4 + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 \cdot A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x^{3} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + \frac{(B x^{2} + C x + D) (x (x^{3} - 4))}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B x^{2} + C x + D) (x)$ por $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + (B x^{2} + C x + D) (x)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{2} x + C x \cdot x + D x$

Etapa 1.1.7.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.6.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.6.1.1

Mova $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Etapa 1.1.7.6.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B (x \cdot x^{2}) + C x \cdot x + D x$

Etapa 1.1.7.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{1 + 2} + C x \cdot x + D x$

Etapa 1.1.7.6.1.3

Some $1$ e $2$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x \cdot x + D x$

Etapa 1.1.7.6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.6.2.1

Mova $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C (x \cdot x) + D x$

Etapa 1.1.7.6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} - 4 A + B x^{3} + C x^{2} + D x$

Etapa 1.1.8

Mova $- 4 A$ .

$2 x^{3} - 2 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{2} + D x - 4 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = D$

Etapa 1.2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = - 4 A$

Etapa 1.2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$0 = D$

$- 2 = - 4 A$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Reescreva a equação como $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 2 = - 4 A$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a equação como $- 4 A = - 2$ .

$- 4 A = - 2$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.3

Divida cada termo em $- 4 A = - 2$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.1

Divida cada termo em $- 4 A = - 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 2}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 4}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.3.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$2 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $2 = \frac{1}{2} + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} + B = 2$ .

$\frac{1}{2} + B = 2$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$B = 2 - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$B = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$B = \frac{4 - 1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$D = 0$

$C = 0$

Etapa 1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} D = 0 C = 0$

Etapa 1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}, D = 0, C = 0$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x^{2} + C x + D}{x^{3} - 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2 x^{2}} + 0 x + 0}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Some $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.1.2

Fatore $x$ de $\frac{3}{2} x^{2} + 0 \cdot x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.2.1

Fatore $x$ de $\frac{3}{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + 0 \cdot x}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.1.2.2

Fatore $x$ de $0 \cdot x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.1.2.3

Fatore $x$ de $x (\frac{3}{2} x) + x \cdot 0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3}{2} x + 0)}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.1.3

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2} + 0)}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.1.4

Some $\frac{3 x}{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{x (\frac{3 x}{2})}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.2

Combine $x$ e $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{x (3 x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 (x \cdot x)}{2}}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{1 + 1}}{2}}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3} - 4}$

Etapa 1.5.5

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x^{3} - 4}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Etapa 1.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)}$

Etapa 1.5.7

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3 x^{2}}{2 (x^{3} - 4)} d x$

Etapa 5

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x^{3} - 4$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u = x^{3} - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 6.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 6.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 7.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{3} - 4 |) + C$