Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - 2 x^{2}$ . Depois, $d u = - 4 x d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - 2 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - 4 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $- \frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (- u + 1)}$ como ${(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $2 (- u + 1)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.2.2

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2 - 1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Multiplique os expoentes em ${({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.2

Simplifique.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.3

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.3.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{1}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.4

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4.5

Combine $\frac{- u + 1}{2}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 4.4.6

Mova $u^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 6.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 6.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

Expanda $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{8} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.2

Fatore o negativo.

$- \frac{1}{8} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{8} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.7

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.8

Multiplique $u^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7.9

Reordene $- u^{\frac{1}{2}}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{8} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Etapa 12

Simplifique.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Combine ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

Etapa 14.1.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 14.2

Para escrever $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 14.3

Combine $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 14.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 14.6

Multiplique $- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

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Etapa 14.6.1

Multiplique $\frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8} + C$

Etapa 14.6.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{24} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- \frac{1}{24} (6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$