Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{5 - \frac{1}{2} x^{4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ . Depois, $d u = - 2 x^{3} d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 5 - \frac{1}{2} x^{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - \frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 - \frac{1}{2} (4 x^{3})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{1}{2}) x^{3}$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{- 4}{2} x^{3}$

Etapa 1.1.3.5

Combine $\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$0 + \frac{- 4 x^{3}}{2}$

Etapa 1.1.3.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2}$

Etapa 1.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)}$

Etapa 1.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 2 x^{3}}{1}$

Etapa 1.1.3.6.2.4

Divida $- 2 x^{3}$ por $1$ .

$0 - 2 x^{3}$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 x^{3}$ de $0$ .

$- 2 x^{3}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - \frac{1}{2} x^{4}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 5 - \frac{1}{2} x^{4} |) + C$