Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ como $u - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{u - 1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

Etapa 4

Divida $u - 1$ por $u$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Etapa 4.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Etapa 11.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Etapa 11.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Etapa 11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$