Cálculo Exemplos

$\int_{- 2}^{4} x^{2} {(x^{3} + 8)}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} + 8$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} + 8$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{3} + 8$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{3} + 8$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$u_{lower} = - 8 + 8$

Etapa 1.3.2

Some $- 8$ e $8$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{3} + 8$ .

$u_{upper} = 4^{3} + 8$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 64 + 8$

Etapa 1.5.2

Some $64$ e $8$ .

$u_{upper} = 72$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 72$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{72} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $u^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{72} \frac{u^{2}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{72} u^{2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{72}$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $72$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 72^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.2

Eleve $72$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 373248 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{373248}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $373248$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $3$ de $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{124416}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.3.2.2.4

Divida $124416$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 5.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0 (\frac{1}{3}))$

Etapa 5.5.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0)$

Etapa 5.6

Some $124416$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 124416$

Etapa 5.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $124416$ .

$\frac{124416}{3}$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $124416$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Fatore $3$ de $124416$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3}$

Etapa 5.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3 (1)}$

Etapa 5.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 41472}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{41472}{1}$

Etapa 5.7.2.2.4

Divida $41472$ por $1$ .

$41472$