Cálculo Exemplos

$\int e^{- x} \tan (e^{- x}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = - x$ . Depois, $d u_{1} = - d x$ , então, $- d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = - x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Depois, $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 4

A integral de $\tan (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$- (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$- \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Etapa 6

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 6.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{u_{1}}$ .

$- \ln (| \sec (e^{u_{1}}) |) + C$

Etapa 6.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$