Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{e^{u_{1}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{3 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Negative o expoente de $e^{u_{1}}$ e o mova para fora do denominador.

$\frac{1}{3} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 4.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $- 1 u_{1}$ como $- u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $e^{- u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = - d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = - u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Etapa 5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 7

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- (e^{u_{2}} + C))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{1}{3} (- e^{u_{2}}) + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{e^{u_{2}}}{3} + C$

Etapa 9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- u_{1}$ .

$- \frac{e^{- u_{1}}}{3} + C$

Etapa 9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$- \frac{e^{- x^{3}}}{3} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$