Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{- u + 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ como $- u + 1$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- u + 1}$ como ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{- u + 1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

Expanda $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.2

Fatore o negativo.

$- \frac{1}{2} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.7

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.8

Multiplique $u^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6.9

Reordene $- u^{\frac{1}{2}}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Combine ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

Etapa 13.1.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 13.2

Para escrever $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 13.3

Combine $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 13.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 13.6

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

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Etapa 13.6.1

Multiplique $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 2} + C$

Etapa 13.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- \frac{1}{6} (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$