Cálculo Exemplos

$\int \frac{12 x^{2}}{4 x^{3} - 6} d x$

Etapa 1

Cancele o fator comum de $12$ e $4 x^{3} - 6$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $12 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{4 x^{3} - 6} d x$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) - 6} d x$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)} d x$

Etapa 1.2.3

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3)$ .

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 x^{3} - 3)} d x$

Etapa 1.2.5

Reescreva a expressão.

$\int \frac{6 x^{2}}{2 x^{3} - 3} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x^{3} - 3$ . Depois, $d u = 6 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{6 x^{2}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x^{3} - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x^{3} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} - 3$ .

$\ln (| 2 x^{3} - 3 |) + C$