Cálculo Exemplos

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{6 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 2

Como $6$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , então, $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- \frac{1}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

Etapa 4.3

Combine $\frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1}$ e $2$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2} \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 4.4

Mova $2$ para a esquerda de ${u_{2}}^{2}$ .

$6 \int \frac{2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$6 (2 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Etapa 6

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Etapa 7

Divida ${u_{2}}^{2}$ por $2 u_{2} + 1$ .

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Etapa 7.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 u_{2}$

$1$

${u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

Etapa 7.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo ${u_{2}}^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 u_{2}$ .

					$\frac{u_{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

Etapa 7.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{2}$	+	$\frac{u_{2}}{2}$

Etapa 7.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u^{2} + \frac{u}{2}$ .

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$

Etapa 7.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$

Etapa 7.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Etapa 7.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- \frac{u_{2}}{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 u_{2}$ .

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Etapa 7.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Etapa 7.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4}$ .

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Etapa 7.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Etapa 7.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$12 \int \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2}$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$12 (\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Etapa 12.2

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Etapa 13

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Etapa 14

Deixe $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Depois, $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 14.1

Deixe $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 14.1.1

Diferencie $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Etapa 14.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 u_{2} + 1$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 14.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Etapa 14.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $2 u_{2}$ em relação a $u_{2}$ é $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 14.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 14.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Etapa 14.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 14.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 14.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 14.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{1}{u_{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

Etapa 15.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

Etapa 16

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Etapa 17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 17.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 18

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Etapa 19

Simplifique.

$12 (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - \frac{u_{2}}{4} + \frac{\ln (| u_{3} |)}{8}) + C$

Etapa 20

Reordene os termos.

$12 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} - \frac{1}{4} u_{2} + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Etapa 21

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 21.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Etapa 21.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 u_{2} + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Etapa 21.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Etapa 21.4

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 21.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 1 - 1}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.2

Combine os termos opostos em $2 x + 1 - 1$ .

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Etapa 22.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 0}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 22.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.3.3

Fatore $2$ de $2 x$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (x)}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.3.4

Cancele o fator comum.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.3.5

Reescreva a expressão.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.4

Multiplique $\frac{- 1}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Etapa 22.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |)) + C$

Etapa 22.8

Combine os termos opostos em $2 x + 1 - 1$ .

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Etapa 22.8.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |)) + C$

Etapa 22.8.2

Some $2 x$ e $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Etapa 22.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 22.9.1

Cancele o fator comum.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Etapa 22.9.2

Reescreva a expressão.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 22.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1 - 1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 22.10.2

Combine os termos opostos em $2 x + 1 - 1$ .

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Etapa 22.10.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 22.10.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 22.10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 22.10.3.1

Cancele o fator comum.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 22.10.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 22.10.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Etapa 22.10.5

Combine $\frac{1}{8}$ e $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Etapa 22.11

Para escrever $\frac{x^{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Etapa 22.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 22.12.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Etapa 22.12.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Etapa 22.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Etapa 22.14

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Etapa 22.15

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Etapa 22.16

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 22.16.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{4}$ para o numerador.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Etapa 22.16.2

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Etapa 22.16.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Etapa 22.16.4

Reescreva a expressão.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Etapa 22.17

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Etapa 22.18

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 22.18.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Etapa 22.18.2

Fatore $4$ de $8$ .

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 22.18.3

Cancele o fator comum.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Etapa 22.18.4

Reescreva a expressão.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 22.19

Combine $3$ e $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.20

Para escrever $- 3 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.21

Combine $- 3 x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 22.23.1

Fatore $3$ de $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

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Etapa 22.23.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x \cdot 2$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.23.1.2

Fatore $3$ de $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.23.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.24

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.25

Fatore $- 1$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.26

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 22.27

Fatore $- 1$ de $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Etapa 22.28

Fatore $- 1$ de $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Etapa 22.29

Reescreva $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ como $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Etapa 22.30

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 23

Reordene os termos.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$