Cálculo Exemplos

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Depois, $d u = (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) d x$ , então, $\frac{1}{4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 (2 x)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$