Cálculo Exemplos

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ como $- u + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- u + 1}$ como ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 5$ .

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Etapa 2.5

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{- 5}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

Etapa 2.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Etapa 5.2

Reordene $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Etapa 5.3

Reordene $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.4

Combine $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $u$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.5

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.9

Some $1$ e $2$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.10

Multiplique $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5.11

Reordene $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Etapa 6

Reescreva $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ como $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{5}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{5}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Etapa 10

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{5}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{5}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Etapa 14.2

Simplifique.

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 14.3

Reordene os termos.

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Combine $\frac{5}{3}$ e ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 16.2

Para escrever $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 16.3

Combine $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Etapa 16.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Etapa 16.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$