Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Mova $\sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

Etapa 2.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

Etapa 2.4

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

Etapa 2.7

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Etapa 2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Etapa 2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Etapa 2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

Etapa 2.7.5

Simplifique.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{2 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , então, $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Etapa 6.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot 2 d u_{2}$

Etapa 7.1.3

Combine $\frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}} \cdot 2}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Mova ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.3.2.1.1

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.3.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.4.1

Mova ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 7.4.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 7.4.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Etapa 7.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ como $1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.3

Multiplique ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{2}$ .

${(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reduza a expressão $\frac{2 x}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 11.1.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 11.1.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{x}{1})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 11.2

Divida $x$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + C$