Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{\sqrt[3]{1 - 2 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - 2 x^{2}$ . Depois, $d u = - 4 x d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - 2 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - 4 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 4} d u$

Etapa 2.3

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt[3]{u}$ .

$\int - \frac{1}{4 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{4 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{1}{4} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2

Reescreva $- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ como $- \frac{3}{8} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{3}{8} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{3}{8} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$