Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u$

Etapa 2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(u - 1)}^{2}$ como $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Etapa 2.5

Reordene $u$ e $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Etapa 3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Etapa 4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Etapa 6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u$

Etapa 7

Subtraia $1 u$ de $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u$

Etapa 8

Divida $u^{2} - 2 u + 1$ por $u$ .

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Etapa 8.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Etapa 8.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Etapa 8.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Etapa 8.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u^{2} + 0$ .

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Etapa 8.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Etapa 8.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Etapa 8.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Etapa 8.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Etapa 8.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 u + 0$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Etapa 8.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Etapa 8.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) + \ln (| x + 1 |) + C$