Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3 (u - 1) + 2}{u} d u$

Etapa 2

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} + \frac{- 3 (u - 1)}{u} + \frac{2}{u} d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int \frac{- 3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 4

Simplifique multiplicando.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 4.2

Reescreva ${(u - 1)}^{2}$ como $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 4.6

Reordene $u$ e $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 5

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 6

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 8.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 9

Subtraia $1 u$ de $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 10

Divida $u^{2} - 2 u + 1$ por $u$ .

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Etapa 10.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Etapa 10.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Etapa 10.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Etapa 10.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u^{2} + 0$ .

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Etapa 10.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Etapa 10.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Etapa 10.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Etapa 10.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Etapa 10.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 u + 0$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Etapa 10.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Etapa 10.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 11

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 15

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - \int \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 16

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - (3 \int \frac{u - 1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 17

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int \frac{u - 1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 18

Divida $u - 1$ por $u$ .

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Etapa 18.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Etapa 18.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $u$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Etapa 18.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Etapa 18.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Etapa 18.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Etapa 18.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int 1 - \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 19

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 20

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 21

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 22

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{2}{u} d u$

Etapa 23

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 24

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 25

Simplifique.

$\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 26

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 27

Simplifique.

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Etapa 27.1

Subtraia $3 u$ de $- 2 u$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + \ln (| u |) + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 27.2

Some $\ln (| u |)$ e $3 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 4 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 27.3

Some $4 \ln (| u |)$ e $2 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 6 \ln (| u |) + C$

Etapa 28

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 5 (x + 1) + 6 \ln (| x + 1 |) + C$