Cálculo Exemplos

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 3 x + 2$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 3 x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ e $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , então, $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{3}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- \frac{2}{3}$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Etapa 6.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u_{2}$

Etapa 6.3

Mova $3$ para a esquerda de ${u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int 3 {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (3 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 8.3

Multiplique $\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 9

Deixe $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ . Depois, $d u_{3} = 3 d u_{2}$ , então, $\frac{1}{3} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $3 u_{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2} + 2]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 u_{2} + 2$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Etapa 9.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $3 u_{2}$ em relação a $u_{2}$ é $3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Etapa 9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Etapa 9.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

Etapa 9.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $2$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 9.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u_{3}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 10.2

Combine $\frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3} d u_{3}$

Etapa 11

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Reescreva ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ como $(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})$ .

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.8

Reordene $\frac{u_{3}}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.9

Mova $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.10

Multiplique $\frac{u_{3}}{3}$ por $\frac{u_{3}}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3} \cdot u_{3}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.11

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{1} u_{3}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.12

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.14

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.15

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2}}{9} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.16

Combine $\frac{{u_{3}}^{2}}{9}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.18

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.19

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.21

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.21.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.21.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.22

Combine $- 1 \frac{u_{3}}{3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{3} \cdot 2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.23

Combine $\frac{u_{3}}{3}$ e $2$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2}{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.24

Combine $\frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2}{3}}{3}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.25

Combine $\frac{u_{3} \cdot 2}{3}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.26

Combine $- \frac{2}{3}$ e $\frac{u_{3}}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 u_{3}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.27

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 u_{3}}{9} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.28

Combine $\frac{2 u_{3}}{9}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.29

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}})}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.30

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.31

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.32

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.33

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.34

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.35

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.36

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.37

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.38

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4}{9} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Etapa 12.39

Combine $\frac{4}{9}$ e ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 12.40

Reordene $\frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9}$ e $\frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 12.41

Reordene $- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ e $\frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Mova $2$ para a esquerda de $u_{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.2

Multiplique $u_{3}$ por ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.2.1

Mova ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} u_{3})}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.2.2

Multiplique ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ por $u_{3}$ .

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Etapa 13.2.2.1

Eleve $u_{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{1})}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + 1}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.3

Reescreva $- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ como $- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.4

Reescreva $\frac{- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}}{3}$ como um produto.

$\frac{1}{3} \int - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.7

Subtraia $\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ de $- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - 2 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.8

Combine $- 2$ e $\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} + \frac{- 2 (2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{9} d u_{3}$

Etapa 13.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} + \frac{- 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 13.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

Etapa 14

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} (\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} d u_{3} + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 15

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 16

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 17

Combine $\frac{2}{7}$ e ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 18

Como $\frac{4}{9}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{4}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 19

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 20

Combine $\frac{2}{3}$ e ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 21

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

Etapa 22

Como $\frac{4}{9}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{4}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{4}{9} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}))$

Etapa 23

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{4}{9} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C))$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Combine $\frac{2}{5}$ e ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Etapa 24.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{63} + \frac{8 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{45}) + C$

Etapa 25

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 26

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 26.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $3 u_{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 26.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 (\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 (\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 (\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 26.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 (\frac{3 x + 2}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 (\frac{3 x + 2}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 (\frac{3 x + 2}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 27

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 (\frac{1}{3} (3 x + 2) - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 (\frac{1}{3} (3 x + 2) - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 (\frac{1}{3} (3 x + 2) - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$