Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 2}{{(2 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x - 4$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + 2 + 2}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Some $2$ e $2$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + 4}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3

Combine.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + 4)}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{u + 2 \cdot 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 8}{2 u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{u + 8}{4 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 8}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} \int (u + 8) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Expanda $(u + 8) u^{- \frac{3}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.6

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 8 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 5.7

Reordene $u^{\frac{- 1}{2}}$ e $8 u^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} \int 8 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int 8 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 8

Como $8$ é constante com relação a $u$ , mova $8$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (8 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (8 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 4$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Para escrever $2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{16}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.3.1

Multiplique ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.3.1.1

Mova ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 ({(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 {(2 x - 4)}^{1}}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.2

Simplifique $2 {(2 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x - 4)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 16 + 4 x - 8}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.6

Subtraia $8$ de $- 16$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.7

Fatore $4$ de $4 x - 24$ .

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Etapa 13.3.7.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x) - 24}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.7.2

Fatore $4$ de $- 24$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.3.7.3

Fatore $4$ de $4 x + 4 \cdot - 6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.4

Combine.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.5

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (4 (x - 6))}{4 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.6

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 6)}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.7

Multiplique $x - 6$ por $1$ .

$\frac{x - 6}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$