Cálculo Exemplos

$\int x^{2} e^{2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , então, $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} e^{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = {u_{2}}^{2}$ e $d v = e^{2 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{2} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Etapa 5.2

Combine ${u_{2}}^{2}$ e $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ para fora da integral.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}}}{2} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 7.2

Combine $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 7.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 \cdot e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 7.4.2

Divida $e^{u_{3}}$ por $1$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2})$

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Etapa 9.2

Reescreva $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ como $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

Etapa 10

Remova os parênteses.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

Etapa 11.2

Combine $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ e $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

Etapa 11.3

Combine ${u_{2}}^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} + C$

Etapa 11.4

Combine $e^{u_{3}}$ e $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2} + C$

Etapa 11.5

Subtraia $\frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2}$ de $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ .

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Etapa 11.5.1

Reordene $e^{u_{3}}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

Etapa 11.5.2

Subtraia $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ de $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ .

$0 + C$

Etapa 11.6

Some $0$ e $C$ .

$C$