Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{1 + x^{2}} x^{5} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} {\sqrt{u - 1}}^{4} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u - 1}}^{4}$ como ${(u - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u - 1}$ como ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{u} {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{2} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} {(u - 1)}^{2} d u$

Etapa 2.3

Combine $\frac{\sqrt{u}}{2}$ e ${(u - 1)}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} {(u - 1)}^{2}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} {(u - 1)}^{2} d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = {(u - 1)}^{2}$ e $dv = \sqrt{u}$ .

$\frac{1}{2} ({(u - 1)}^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} ({(u - 1)}^{2} \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Etapa 5.2

Combine ${(u - 1)}^{2}$ e $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{{(u - 1)}^{2} (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(u - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Etapa 5.4

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} (2 u - 2) d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} (2 u) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d u)$

Etapa 6.2

Reordene $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} u + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d u)$

Etapa 6.3

Reordene $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} u - 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.4

Combine $2$ e $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} u - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} u - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.6

Combine $\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}} u}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.7

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (u^{\frac{3}{2}} u^{1})}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.11

Some $3$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 6.12

Combine $- 2$ e $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} d u)$

Etapa 6.13

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} d u + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Etapa 9

Como $\frac{4}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{4}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{5}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Etapa 11

Combine $\frac{2}{7}$ e $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Etapa 13

Como $\frac{4}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{4}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)))$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{4}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

Etapa 15.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} u^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 17

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} u^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} u^{\frac{5}{2}}) + C$ como $\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Para escrever $\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $21$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.2.1

Multiplique $\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.2.2

Multiplique $3$ por $7$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7}{21} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7 - 8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{14 u^{\frac{7}{2}} - 8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.5

Subtraia $8 u^{\frac{7}{2}}$ de $14 u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.6

Fatore $3$ de $6 u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 18.7.1

Fatore $3$ de $21$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{3 (7)} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Etapa 18.8

Para escrever $- \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.9.1

Multiplique $\frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.9.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.11

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 20 u^{\frac{5}{2}} + 8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.12

Some $- 20 u^{\frac{5}{2}}$ e $8 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.13

Fatore $3$ de $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 18.14.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 18.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 19

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Etapa 20

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {(1 + x^{2})}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$