Cálculo Exemplos

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Etapa 2.2

Aplique a regra do produto a $- (u)$ .

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Etapa 2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Etapa 2.4

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u^{2}$ e $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Etapa 6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Etapa 9

Reescreva $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ como $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Etapa 11.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Etapa 11.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Etapa 11.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Etapa 11.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$