Cálculo Exemplos

$\int \frac{{(3 + e^{x})}^{2}}{e^{x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $- d u = - e^{x} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Etapa 2.1.2

Reescreva a expressão.

$\int 1 u^{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int u^{2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + e^{x}$ .

$\frac{1}{3} {(3 + e^{x})}^{3} + C$