Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{3}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

Etapa 3

Expanda $({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva ${(u - 1)}^{2}$ como $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 - 3) u^{- 3} d u$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.9

Reordene $u$ e $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.10

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.11

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + 1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.13

Some $1$ e $1$ .

$\int u^{2} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{2 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.15

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int u^{- 1} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.16

Fatore o negativo.

$\int u^{- 1} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.17

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{- 1} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{- 1} - u^{1 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.19

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.20

Fatore o negativo.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.21

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{1 - 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.23

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.24

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.25

Multiplique $u^{- 3}$ por $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.26

Subtraia $u^{- 2}$ de $- u^{- 2}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Etapa 3.27

Subtraia $3 u^{- 3}$ de $u^{- 3}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{- 1} d u + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Etapa 5

A integral de $u^{- 1}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\ln (| u |) + C - 2 \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 3} d u$

Etapa 8

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 3} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Combine $u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 10.1.2

Mova $u^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Etapa 10.3

Reescreva $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$ como $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$

Etapa 10.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - - \frac{1}{u^{2}} + C$

Etapa 10.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + 1 \frac{1}{u^{2}} + C$

Etapa 10.4.3

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\ln (| x + 1 |) + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$