Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{4 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x + 1$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{1}{4}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{u}{4}$ por $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.7

Some $2$ e $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3.9

Combine $- \frac{1}{4}$ e $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 4} d u$

Etapa 3.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{16} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{16} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{16} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{16} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.2

Reescreva $\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 16} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.3.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{48} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.3.3

Cancele o fator comum de $2$ e $48$ .

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Etapa 10.3.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{48} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.3.2.1

Fatore $2$ de $48$ .

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{40} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 1$ .

$\frac{1}{40} {(4 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{24} {(4 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$