Cálculo Exemplos

$\int 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2 \cos (2 x)} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \sin^{2} (2 x) + C$