Cálculo Exemplos

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Etapa 3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ em $0$ e em $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Combine as frações usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.1.2.2

Subtraia $\arctan (\frac{t}{4})$ de $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.3

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Etapa 6.4

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Etapa 6.5

Substitua $t$ por $\frac{t}{4}$ e deixe que $t$ se aproxime de $- \infty$ , pois $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Etapa 6.6

O limite à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ é $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Etapa 6.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.7.1

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Etapa 6.7.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{π}{8}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{8}$

Forma decimal:

$0.39269908 \dots$