Cálculo Exemplos

\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a substituição u. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Escreva a integral como um limite à medida que

t

$t$ se aproxima de

- \infty

$- \infty$ .

lim t \to - \infty \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Etapa 3

Reescreva

16

$16$ como

4^{2}

$4^{2}$ .

lim t \to - \infty \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 4

A integral de

\frac{1}{4^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{1}{4} arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}

$\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

lim t \to - \infty \frac{1}{4} arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ e

arctan (\frac{x}{4})

$\arctan (\frac{x}{4})$ .

lim t \to - \infty \frac{arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Avalie

\frac{arctan (\frac{x}{4})}{4}

$\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ em

0

$0$ e em

t

$t$ .

lim t \to - \infty ⎛ ⎜ ⎝ \frac{arctan (\frac{0}{4})}{4} ⎞ ⎟ ⎠ - \frac{arctan (\frac{t}{4})}{4}

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de

$0$ e

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore

$4$ de

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore

$4$ de

$4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 5.2.2.2.4

Divida

$0$ por

$1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine as frações usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

O valor exato de

$\arctan (0)$ é

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.1.2.2

Subtraia

$\arctan (\frac{t}{4})$ de

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.2

Mova o termo

$- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Etapa 6.3

Mova o termo

$\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Etapa 6.4

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Etapa 6.5

Substitua

$t$ por

$\frac{t}{4}$ e deixe que

$t$ se aproxime de

$- \infty$ , pois

$lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Etapa 6.6

O limite à medida que

$t$ se aproxima de

$- \infty$ é

$- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Etapa 6.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Multiplique

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique

$\frac{1}{4}$ por

$1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 6.7.2

Multiplique

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Multiplique

$\frac{1}{4}$ por

$\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Etapa 6.7.2.2

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$\frac{π}{8}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{8}$

Forma decimal:

$0.39269908 \dots$